In 1931 the Austrian logician Kurt Gödel proved that no single set of rules can settle every question about numbers. Any system of axioms, the basic assumptions from which proofs are built, that is free of contradictions and strong enough for ordinary arithmetic leaves some statements it can neither prove nor disprove.
Monatshefte für Mathematik und Physik, 1931
The story behind the card
At the time, the German mathematician David Hilbert hoped to put all of mathematics on a complete and consistent footing, so that every true statement could in principle be proved. Gödel, then in his mid-twenties and working in Vienna, showed that this cannot be done. His method was to turn statements about proofs into statements about numbers, and then build one that in effect says “this statement cannot be proved”. His second theorem added that such a system cannot prove its own consistency. The theorems apply to systems whose rules can be checked mechanically, like a computer program, and to one set of rules at a time: adding a new axiom settles some questions but always leaves new ones open. They do not mean mathematics is unreliable. Gödel later worked at the Institute for Advanced Study in Princeton, where he became a close friend of Albert Einstein.
Türkçe oku
Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel 1931'de, sayılarla ilgili her soruyu tek bir kural sistemiyle yanıtlamanın imkânsız olduğunu kanıtladı. Aksiyomlara, yani kanıtların dayandığı temel varsayımlara kurulu çelişkisiz bir sistem sıradan aritmetiği kapsayacak kadar güçlüyse, içinde ne kanıtlanabilen ne de çürütülebilen önermeler hep kalır.Monatshefte für Mathematik und Physik, 1931
O yıllarda Alman matematikçi David Hilbert, matematiğin tamamını eksiksiz ve çelişkisiz bir temele oturtmayı, böylece her doğru önermenin ilke olarak kanıtlanabilmesini umuyordu. Viyana'da çalışan Gödel o sırada yirmili yaşlarının ortasındaydı ve bunun yapılamayacağını gösterdi. Yöntemi, kanıtlarla ilgili önermeleri sayılarla ilgili önermelere çevirmek ve sonunda, kendisi hakkında “bu önerme kanıtlanamaz” diyen bir önerme kurmaktı. İkinci teoremi, böyle bir sistemin kendi çelişkisizliğini de kanıtlayamayacağını ekledi. Teoremler, kuralları bir bilgisayar programı gibi mekanik olarak denetlenebilen sistemler için geçerlidir ve her seferinde tek bir kural sisteminden söz eder: Yeni bir aksiyom eklemek bazı soruları çözer, ama yerine yeni açık sorular doğar. Bu, matematiğin güvenilmez olduğu anlamına gelmez. Gödel daha sonra Princeton'daki İleri Araştırmalar Enstitüsü'nde çalıştı ve orada Albert Einstein'ın yakın dostu oldu.